bilimhaber.com

İSTATİSTİKLER

2 kategori altında, toplam 18 haber bulunmaktadır.

Bu haberler toplam 3748 defa okunmuş ve 1 yorum yazılmıştır.

1 - 2 + 3 - 4 + · · ·

Kategori: Bilim | Yorumlar 0 Yorum | Okunma 113 Okunma | Yazar Yazan: demo | 24 Aralık 2009 16:45:03

Matematikte 1 -2 + 3 - 4 + ... sınırsız bir dizidir. Bu dizi art arda gelen pozitif tam sayıların verilen sırayla değişimini gösterir. Sigma toplama gösterimini kullanarak dizinin ilk m teriminin toplamı şöyle ifade edilebilir:

$Summation from n equals 1 to m of the series n * (-1)^(n-1)$

Iraksak (kısmi toplamlar sırası 1, −1, 2, −2, … biçiminde süren) diziler herhangi bir limit değerine yakınsamazlar. Bu, 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisinin ıraksadığı biçiminde de ifade edilebilir.

Tüm bunlara karşın, Leonhard Euler 18. yüzyılın ortalarında bu dizinin mantığa aykırı görünen bir denklem olduğunu öne sürmüştür.

$1-2+3-4+...=1/4$

Bu denklemin akılcı açıklaması, daha sonraki yıllarda da tartışma konusu olmuştur. 1980'lerin başlarında Ernesto Cesàro, Émile Borel ve diğerleri, farklı diziyle genellenen toplamları ifade etmesi için Euler'in denemelerinin yeni yorumlarını kapsayan güçlü yöntemler geliştirmeye çalışmışlardır. Bu toplanabilirlik yöntemlerinin birçoğu, 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının ¹⁄₄'e eşit olduğunu öne sürmektedir. Cesàro toplamı, 1 − 2 + 3 − 4 + …'e yaklaşık da olsa bir değer atayamayan az sayıdaki yöntemden biridir. Bu, Abel toplamı gibi daha sağlam sonuçlar veren yöntemlerin kullanılmasını zorunlu kılmaktadır.

1 − 2 + 3 − 4 + … dizisi, Grandi dizisi (1 − 1 + 1 − 1 + …) ile yakından ilintilidir.

Konu başlıkları

[gizle]

Iraksaklık [değiştir]

Dizinin her bir elemanı (1, −2, 3, −4, …) hem + hem de − yönde 0'dan uzaklaşmaktadır; bu yüzden 1 − 2 + 3 − 4 + …, terim testi ile ayrılır. Bu yöntem, bir noktada birleşmesiyle ya da sınırsız bir dizinin ayrılmasıyla, bir sonsuz dizinin ıraksaklığını belirlemenin basit bir yöntemidir. Başka bir deyişle, 1 − 2 + 3 − 4 + …'ün kısmi toplamları

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

biçiminde ifade edilebilir.

Deneysel toplam [değiştir]

Kararlılık ve doğrusallık [değiştir]

1, −2, 3, −4, 5, −6, … dizisinin basit düzeni 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının, bu ifadenin terimlerinin yerlerinin değiştirilmesiyle hesaplanabilmesini olanaklı kılmaktadır. Rassal bir s sayısı için s = 1 − 2 + 3 − 4 + … eşitliği yazılabiliyorsa s = ¹⁄₄ toplamı şu yolla elde edilebilir:^[1]

$\begin{array}{rclllll} 4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) &+(1-2+3-4+\cdots) \\ &=& &(1-2+3-4+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) &-1+(3-4+5-6\cdots) \\ &=&1+[&(1-2-2+3) & +(-2+3+3-4) & +(3-4-4+5) &+(-4+5+5-6)+\cdots] \\ &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\ 4s&=&1 \end{array}$

1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının dört eşlemi yalnızca terimlerin yerleri değiştirilerek toplandığında 1 sonucuna ulaşılır. Her iki yanda 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının iki eşlemi 1 − 1 + 1 − 1 + ….'e eklenmektedir.

$s=\frac{1}{4}$

Bu çıkarım sağdaki örüntüde anlatılmaktadır.

1 − 2 + 3 − 4 + … her ne kadar bir değere yakınsamıyor görünse de, böyle bir toplamın var olduğu gösterilecekse s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ eşitliği somut kanıtlarla desteklenebilir. Bir ıraksak dizinin "toplamı", dizinin olası tüm alt kümelerinin toplanmasını öngören toplam yöntemi olarak tanımlanabilir. Ana hatlarıyla olağan toplamaya koşut sayılabilecek bu yöntemlerin bir bölümü aşağıda açıklanmıştır. Yukarıdaki çıkarımın asıl sonucu şöyle özetlenebilir: Doğrusal ve kararlı olduğu bilinen bir dizi aynı zamanda 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisine de bir toplam değeri atayabiliyorsa bu toplam ¹⁄₄'e eşittir. Ayrıca,

$\begin{array}{rcllll} 2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\ & = & 1 + &(-2+3-4+\cdots) & + 1 - 2 & + (3-4+5\cdots) \\ & = & 0 + &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\ 2s & = & &1-1+1-1\cdots \\ \end{array}$

olduğundan, bu yöntem Grandi dizisi toplamını da 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂ olarak hesaplamalıdır.

Cauchy çarpımı [değiştir]

Ernesto Cesàro 1891 yılında ıraksak dizilerin kalkülüs bünyesine alınabileceklerine ilişkin bir öngörüde bulunmuş ve bu görüşünü "(1 − 1 + 1 − 1 + …)² = 1 − 2 + 3 − 4 + … eşitliğinin sağlandığı ve eşitliğin her iki yanının ¹⁄₄'e eşit olduğu biliniyor" biçiminde ifade etmiştir.^[2] Cesàro'ya göre bu eşitlik, önceki yıl ortaya attığı tarihin ilk ıraksak dizi toplamı kuramının uygulamasından başka bir şey değildi. Ayrıntıları aşağıda yer alan toplam yöntemi, 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının 1 − 1 + 1 − 1 + … ile 1 − 1 + 1 − 1 + …'in Cauchy çarpımına eşit olduğu savına dayanmaktadır.

1 − 2 + 3 − 4 + … toplamının 1 − 1 + 1 − 1 + …'in iki katlı Cauchy çarpımı biçimindeki ifadesi

İki sonsuz dizinin Cauchy çarpımı, dizilerin ikisi ıraksak olsa bile tanımlıdır. Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ koşulu sağlandığında Cauchy çarpımının terimleri sonlu köşegen toplamlarına eşit olur.

$\begin{array}{rcl} c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em] & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n = (-1)^n(n+1) \end{array}$

Böylece, çarpım dizisi

$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.$ olarak yazılabilir.

İki dizinin Cauchy çarpımını temel alan ve 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂ toplamını hesaplayabilen toplam yöntemi 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄'ü de bulabilmektedir. Bu; doğrusal, kararlı ve Cauchy çarpımını temel alan yöntemlerin 1 − 1 + 1 − 1 + … ve 1 − 2 + 3 − 4 + … dizilerini aynı doğruluk derecesiyle hesaplayabildiklerini göstermektedir.

1 − 1 + 1 − 1 + … dizisi Cesàro kuramıyla toplanabilirken 1 − 2 + 3 − 4 + …, bu kuramın daha güçlü bir sürümünün uygulanmasını gerektirmektedir.^[3] Cesàro kuramının tüm biçimleri doğrusal ve kararlı olduğundan elde edilen toplam değerleri değişmeyecektir.

Özel yöntemler [değiştir]

Cesàro ve Hölder [değiştir]

¹⁄₄'e eşit olan (H, 2) toplamına ilişkin veriler

1 − 2 + 3 − 4 + … ifadesinin Cesàro toplamını ((C, 1)) bulmak için öncelikle dizinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarının hesaplanması gerekmektedir.

Kısmi toplamlar

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

olarak gösterilebilir. Bu kısmi toplamların aritmetik ortalamaları ise aşağıdaki gibidir.

1, 0, ²⁄₃, 0, ³⁄₅, 0, ⁴⁄₇, …

Bu dizi yakınsak değildir; bu nedenle 1 − 2 + 3 − 4 + …, Cesàro toplamı yöntemiyle hesaplanamaz.

Cesàro toplamının iki genellemesi vardır. Bunların kavramsal bakımdan daha basit olanı n doğal sayıları için kullanılan (H, n) yöntem dizisidir. (H, 1), Cesàro toplamını ifade etmektedir ve üst düzey yöntemler, aritmetik ortalama hesaplamalarının yinelenmesidir. Yukarıda elde edilen aritmetik ortalamalardan çift olanlar ¹⁄₂'ye yakınsarken tek olanların tümü sıfırdır. Böylece, ortalamaların ortalaması 0 ve ¹⁄₂'nin orta noktası olan ¹⁄₄'e eşittir.^[4] Sonuç olarak, 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamı (H, 2) yöntemiyle hesaplanabilmektedir.

"H", matematikçilerin bugün Abel toplamı ve (H, n) toplamı arasındaki bağlantı olarak düşündükleri ilişkiyi 1882 yılında kanıtlamış olan Otto Hölder'i simgelemektedir. Hölder, 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisini ilk örneği olarak sunmuştur.^[5] 1 − 2 + 3 − 4 + … ifadesinin (H, 2) toplamının ¹⁄₄'e eşit oluşu bu toplamın bir Abel toplamı olduğunu da göstermektedir.

Cesàro toplamının diğer genellemesi ise (C, n) yöntem dizisidir. (C, n) ve (H, n) toplamlarının aynı sonucu verdiği kanıtlanmıştır ancak bu iki yöntem farklı tarihi köklere sahiptir. Cesàro 1887 yılında (C, n) toplamının tanımını yapmaya çalışmış ancak verdiği örnekleri sınırlı sayıda tutmuştur. Cesàro'nun yaptığı, bugün (C, n) olarak adlandırılabilecek ancak zamanında genel kabul görmeyen bir yöntemle 1 − 2 + 3 − 4 + … toplamını ¹⁄₄ olarak hesaplamaktır. Cesàro 1890 yılında (C, n) yöntemlerini tanımlamış, (C, n) ile toplanabilir bir dizi ile (C, m) ile toplanabilir bir dizinin Cauchy çarpımının (C, m + n + 1) ile toplanabilir olduğunu ortaya koyan kuramını bu tanıma dayandırmıştır.^[6]

Abel toplamı [değiştir]

1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)²'nin bazı parçaları ve 1 noktasındaki limitleri

Leonhard Euler, 1749 tarihli bir yazısında dizinin ıraksadığını kabul etmektedir ancak yine de dizi toplamını hesaplamayı amaçlamaktadır.

« …1−2+3−4+5−6 gibi dizilerin toplamının ¹⁄₄ olduğunu söylemek çatışkıya yol açmakta. Bu dizinin ilk 100 terimi toplandığında -50 sonucuna ulaşıyoruz ancak ilk 101 terimin toplamı +51 ediyor. ¹⁄₄'e hiç de yakın olmayan bu sayı, toplanan terim sayısı arttıkça büyüyor. Daha önceki çalışmalarımda da gördüm ki, toplam terimine daha esnek bir anlam kazandırmamız gerek….^[7] »

Euler, "toplam" sözcüğünün genellenmesi gerektiğini birçok kez^[8] söylemiştir. Euler'in 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisine ilişkin görüşleri bugün Abel toplamı olarak ifade edilen kavrama çok benzerdir.

	« …1−2+3−4+5 + dizisinin toplamının ¹⁄₄ olduğu artık bilinmekte. Bu, ¹⁄₄'e eşit olduğu su götürmez bir gerçek olan ¹⁄_(1+1)² ifadesinin açılmasıyla görülebilir. ¹⁄_(1+x)² ifadesinin açılmasıyla elde edilen 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + &c dizisi konuyu daha iyi açıklamaktadır.^[9] »

Bu ifade farklı yollarla elde edilebilir. Mutlak değeri 1'den küçük olan değerler için

$1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}$

eşitliği sağlanmaktadır.

Eşitliğin sağ yanının Taylor açılımı alınabilir ya da polinoma uzun bölme işlemi uygulanabilir. Sol yandan başlayarak ifade (1+x) ile iki kez çarpılabilir ya da 1 − x + x² − …. geometrik dizisinin karesi alınabilir. Euler, ikinci dizinin türevinin alınmasına da sıcak bakmaktadır.^[10]

1 − 2x + 3x² − 4x³ + … dizisinin x = 1 noktasında tanımlı bir işlevi bulunmamaktadır. Bu yüzden, söz konusu değerin işlevde yerine konması olanaksızdır. İşlev tüm |x| < 1 değerleri için tanımlı olduğundan x 1'e yaklaşırken limit alınabilir ve bu, Abel toplamının tanımını oluşturur.

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14$

Euler ve Borel [değiştir]

Euler'in ¹⁄₂ − ¹⁄₄ toplamı

Euler kendi ürettiği bir yöntem olan Euler dönüşümünü de bu diziye uygulamıştır. Euler dönüşümü, 1, 2, 3, 4, … dizisini oluşturan pozitif terimlerden başlanarak hesaplanır. Bu dizinin ilk elemanı a₀ olarak etiketlenir.

Bunun ardından ileri farklar dizisi hesaplanmalıdır. Bu, 1, 2, 3, 4, … dizisi için 1, 1, 1, 1, …'e eşittir. Bu dizinin ilk elemanı ise Δa₀ olarak etiketlenir. Euler dönüşümü, farkların farkları ve daha üst düzey farkları da göz önünde bulundurmaktadır ancak 1, 1, 1, 1, …'in tüm ileri farkları sıfıra eşittir. 1 − 2 + 3 − 4 + …'ün Euler dönüşümü şu biçimde ifade edilebilir:

$\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14$

Bu, 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisinin ¹⁄₄'e Euler toplamıyla toplanabildiği anlamına gelmektedir.

Euler toplanabilirliği farklı anlamlara da gelebilmektedir. 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisinin

$\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1)$

biçiminde ifade edilmesiyle tümüyle yakınsak olan

$a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x)$

dizisi elde edilir. Böylece, 1 − 2 + 3 − 4 + … için Borel toplamı^[11]

$\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14$

olarak hesaplanır.

Ölçeklerin ayrılması [değiştir]

Saichev ve Woyczyński 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ eşitliğine yalnızca iki fiziksel ilkeyle ulaşmaktadırlar. Sonsuz küçüklükte gevşeme ve ölçeklerin ayrılması olarak adlandırılan bu ilkeler, dizileri ¹⁄₄'e toplayan bir "φ-toplam yöntemleri" ailesinin tanımlanmasına olanak tanımaktadır.

φ(x), ilk ve ikinci türevi sürekli olan ve (0, ∞) aralığında integrali tanımlı bir işlev ise ve φ(x) ile xφ(x)'in +∞'daki limitleri sıfıra eşitse^[12]

$\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14$

sonucu elde edilir.

Bu sonuç Abel toplamının genellemesidir (φ(x) = exp(−x) ile bu toplama geri dönülebilir). Genel ifade, dizi terimlerinin m'ye göre ayrılması ve ifadenin Riemann integraline dönüştürülmesiyle kanıtlanabilir. Sonraki adımda 1 − 1 + 1 − 1 + … dizisinin genel kanıtı için ortalama değer kuramı uygulanır ancak bu işlem Taylor kuramının Lagrange biçimine gerek duymaktadır.

Genellemeler [değiştir]

Euler, 1755 tarihli Institutionesinde benzer dizilerin toplamını açıklamaktadır.

1 − 1 + 1 − 1 + …'in üç katlı Cauch çarpımı 1 − 3 + 6 − 10 + … üçgensel sayı dizisine eşittir. Bu dizinin Abel ve Euler toplamı ¹⁄₈'dir.^[13] 1 − 1 + 1 − 1 + …'in dört katlı Cauchy çarpımı ise 1 − 4 + 10 − 20 + … dörtyüzlü sayı dizisine eşittir. Bu dizinin Abel toplamı ¹⁄₁₆'dır.

1 − 2 + 3 − 4 + … dizisinin farklı bir genellemesi ise n'nin diğer değerleri için 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … dizisidir. Pozitif n tamsayıları için bu dizinin Abel toplamı aşağıdaki gibidir.^[14]

$1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}$

Burada B_n, Bernoulli sayılarını ifade etmektedir. Çift n değerleri için

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0$

ifadesi elde edilir. Bu toplam, Niels Henrik Abel'e 1826 yılında şöyle alay konusu olmuştur:

"Iraksak diziler tümüyle şeytan işidir. Birinin bu dizilere kanıt araması utanç vericidir. Bunlardan istenileni çekip almak işten değildir ancak bugüne dek karşılaşılan düş kırıklıkları ve çatışkıların sorumlusu da bu dizilerdir. n bir pozitif sayı olmak koşuluyla aşağıdaki ifadeden daha ürkütücü ne olabilir?

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + vb.

Arkadaşlar, bu resmen gülünç."^[15]

Cesàro'nun öğretmeni Eugène Charles Catalan da ıraksak dizileri küçük görmüştür. Cesàro, öğretmeninin de etkisiyle, "geleneksel ifadeler" olarak bilinen 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … gibi ifadeleri "saçma eşitlikler" olarak tanımlamış ve 1883 yılında bu formüllerin yanlış olduğunu ancak işe yaradıklarını söylemiştir. Cesàro 1890 yılında yazdığı Sur la multiplication des séries adlı yapıtında ise tanımlardan başlayarak çağdaş bir yaklaşım sergilemiştir.^[16]

Diziler tamsayı olmayan n değerleri için de incelenmiştir. Bunlar, Dirichlet eta işlevini oluşturmaktadırlar. Euler'in 1 − 2 + 3 − 4 + … ile ilintili diziler üzerinde çalışmaya başlamasının temel nedeni, eta işlevinin onu doğrudan Riemann zeta işlevinin işlevsel eşitliğine götürmesidir. Euler, bu işlevlerin pozitif çift tamsayılar (Basel problemiyle birlikte) kümesindeki değerlerini bulmuştu ve aynı başarıyı tek tamsayılar (Apéry sabitiyle birlikte) kümesi için de yinelemeye çalışıyordu. Eta işlevi üzerinde Euler yöntemleriyle daha rahat çalışılabilmektedir. Bunun nedeni, bu yöntemlerle ulaşılan Dirichlet dizisinin hemen her yerde Abel toplamına sahip olmasıdır. Öte yandan, zeta işlevinin Dirichlet dizisi, ıraksamaya başladığı noktadan itibaren toplam hesaplamasında güçlükler çıkarmaktadır.^[17] Örneğin, 1 − 2 + 3 − 4 + … dizisinin zeta işlevindeki karşılığı 1 + 2 + 3 + 4 + … dizisidir. Bu dizi, fizikte geniş bir uygulama alanına sahip olmasına karşın toplamı için güçlü yöntemler gerektirmektedir.